技術情報 その３ 影響半径についてのアレコレ
●きっかけは「根切りの排水量問題」
時々「こういった施工条件で根切り（掘削工事）するけど必要な地下水排水（揚水量）はどのくらい？」といった問い合わせを受けます。そのたびに、水理公式集に掲載されているチーム（テイエム）の井戸の理論式で計算したらいかがでしょう？と答えますが、すると今度は「この計算結果で合ってる？」という感じのリターンがありまして、そのたびに当方で検算する羽目に陥ります（最初から当方で計算したほうが早い・・・）。こうした場面に持ち出されるチームの井戸理論式（平衡式）、色々な場面に応用できることもあって便利な反面、透水係数を何で求めるとか、矩形の掘削範囲をどうやって円形近似するとか、単位を揃えなければならないとか、微妙に奥深い側面があります。特に影響半径（影響圏）については、経験的・常識的に想定される値をいれておけば多少の違いは効かない（理論式では影響半径÷井戸口径の対数をとるため）ものの、コレといった決め手に乏しいパラメータのひとつであることも事実。そこで、影響半径・影響圏の考え方・求め方について、自身の復習をかねて、以下にまとめてみました。
●そもそも影響半径・影響圏とは？
地下水の揚水・排水で問題になる「影響半径・影響圏」の定義や考え方については、地下水問題を考える上での「三大古典（なのか？）」に次のように記されています。少し冗長な部分もありますが、そのまま引用します。
■山本荘毅「新版 地下水調査法」より（一部加筆）■
影響半径とは、井戸で揚水を行った場合に、影響を受ける地下水位の範囲を指すもので、水位低下量ｓ、揚水量Ｑ、揚水時間ｔ、透水係数Ｋ、などに比例するＲ＝ｆ（Ｋ、ｓ、ｒ、ｔ）であることは知られているが、明瞭な関数関係は認められていない。
理論的には、揚水と水位低下の間に平衡状態は存在しえず、影響半径は無限に拡大する。しかし、実際にはある微量の水位低下、たとえば１㎜以下の範囲を影響圏として定義することができる。影響のもとめ方に関しては、半経験的あるいは経験的な多くの方法が提案されているが、実際的には50～1000ｍで、実用的には不圧地下水で100～300ｍ、被圧水で500～700ｍとみてよい。
比較的よく知られている公式として
（１）半経験式 ・・・省略・・・
（２）経験式
ジーハルト式 Ｒ＝3000・ｓｗ・√Ｋ
クサキン式 Ｒ＝575・ｓｗ・√（Ｈ・Ｋ）
などがある。ここでｓｗは揚水井における水位低下、Ｈは飽和帯水層の最初の厚さ、Ｋは透水係数である。
（３）非平衡式によるものとして、われわれの水位観測精度を１㎜とすれば（実際はこれよりも精度が悪い）ｓ≧１㎜になる距離が影響圏の半径Ｒであると考える。すなわち、非平衡公式で次式をうる。
0.001＝Ｑ・Ｗ（ｕ）／（４πＴ） または Ｗ（ｕ）＝４πＴ×0.001／Ｑ
となるような井戸関数Ｗ（ｕ）からｕをもとめ、これをｂ^2とすれば
ｕ＝ｂ^2＝Ｒ^2・Ｓ／（４Ｔｔ） Ｒ＝２ｂ√（Ｔｔ／Ｓ）
として計算される。ここにＱは揚水量、Ｔは透水量係数、Ｓは間隙率（貯留係数）、ｔは時間である。
Ｒはシュルツやベーバーと同じく√ｔに比例して拡大するが、等速度で拡大するものではない。
筆者が長野県で行った計算の実例について述べる。 ・・・省略・・・
このようにしてもとめたＲの値が、最も合理的でかつ正確である。
■村下敏夫「改著 地下水学要論」より（一部加筆）■
影響圏は、揚水によって生ずる水位降下の及ぶ範囲をいう。すなわち、揚水にともなって帯水層が容積変化を起こす範囲（自由面状態）、揚水にともない水頭勾配が増加する範囲（被圧状態）である。
影響圏は、帯水層の定数によって制限される。非平衡式においては、ｒ^2＝４Ｔｔｕ／Ｓ から任意の揚水時間における影響圏は、透水量係数に比例し貯留係数に反比例する。帯水層定数が一定のときには、影響圏は√ｔに比例して拡大する。
井戸の水理公式における影響圏の取り扱い方は一様ではない。一般には、500～1000ｍ、あるいは井戸の深度に等しいとされているが、いずれも適切ではない。野満隆治は、水位観測精度の誤差を考慮してｓ≧１㎜なる距離をＲとしている。実用的な取り扱い方としては、水位降下が隣接井に１㎝あるいは10㎝に及んでも隣接井の揚水量に重大な影響が生じなければ、その限界までの距離をもってＲとすることができよう。
水位降下が0.001ｍとなる距離をＲとすると、Ｒは非平衡式から計算できる。
Ｗ（ｕ）＝Ｔ×ｓ／（0.0796×Ｑ）＝Ｔ×0.001／（0.0796×Ｑ）
ｕ－Ｗ（ｕ）関数表から井戸関数Ｗ（ｕ）に相当するｕを求めると、Ｒ＝√（４Ｔｔｕ／Ｓ）
また、Ｒの近似値はジェイコブの式から、Ｒ≒ｒ＝√（2.25Ｔｔ／Ｓ）
水位観測井が数多くあるときにはｒ－ｓ曲線を描いて、その曲線が水位降下ｓ＝０の軸と交わる点ｒ0を求めると、Ｒ≒ｒ0となる。図は揚水量Ｑを変えてｒ0を求める方法を示したもので、ｒ0はＱの変動に応じて変化しないことも表している。
影響圏の大きさ・形は、帯水層の状態によって異なる。
・影響半径Ｒは、自由面状態の帯水層よりも被圧状態の帯水層で大きい。
・影響圏の形は、揚水中における水補給の状態によってさまざまである。
・影響圏が拡大する速度は、自由面状態でおそく、被圧状態で早い。
■クリメントフ、プイハチェフ「地下水の力学」より（加筆および記号や人名を簡略化）■
水理地質学における影響半径は、井戸の軸から水位降下面の外辺すなわち静水位と等しくなる点までの距離をいう。ときにはこれを「水位降下漏斗半径」、「水位降下半径」、「作用半径」ということもある。
シェルカチェフ、ギリンスキ、アバリン、ヌメロフらの研究者は、長期排水の場合の影響半径は帯水層の涵養部分にまで次第に広がると考えている。影響半径の大きさが限定されるのは、局部的涵養が揚水を補給する場合である。
帯水層の涵養が行われない場合の揚水過程における水位降下面の発達は、クサキン、シュリツ、ヴェベル、コゼンらによって研究されている。
ケルキスは水理地質的計算において「換算」影響半径を使用することを提案している。これは「井戸中心の周辺において帯水層の均等涵養が行なわれ、揚水条件が一定の場合に実際の揚水量を完全に補填するような円の半径」と彼は定義している。ケルキスは平面図において放射状に近い地下水の非定常運動にも定常運動にも「換算」影響半径の概念を拡張できると考えている。
ボアホールや坑道などからの揚水時における影響半径は、一般に次のようなパラメータの関数として検討すべきである。
Ｒ＝Ｆ（ｔ、ｋ、ｓ、ｒ） ここでｔ＝揚水時間、ｋ＝透水係数、ｓ＝水位低下、ｒ＝帯水層構造による条件
しかし影響半径に対する上記要因の影響を十分に考慮した計算式はまだ発表されていない。
・・・省略・・・
影響半径は、揚水試験のときに１つあるいは若干の半径方向に設定したいくつかの観測井の測定データによりグラフを描いて実際的に満足な精度で求めることができる。影響半径の最も正確な値は、地下水の流動方向に対して垂直に配置され組成の均一な岩石に掘られた放射状ボアホールの揚水試験に得られる。しかし揚水試験の場合に影響半径は変化し、ある限界まで次第に広がっていく（雨水浸透がない場合）。したがって揚水試験は十分な期間で行わなければならない。
・・・省略・・・
観測井がなく透水係数による影響半径は精度が低い。・・・以下省略・・・
これら「三大古典」の内容をザックリまとめると、次のようになります。
①影響半径Ｒは、本来的に透水係数Ｋ・水位低下ｓ・揚水時間ｔなどのパラメータに依存する関係であるが、理論的な関係式としては定式化されていない。
②影響半径Ｒの検討では、帯水層への涵養条件についても配慮する必要がある。
③水位低下ｓ＝0.001ｍとするような非定常式（タイスの式）から計算する影響半径Ｒは合理的であるが、揚水時間ｔに依存する（√ｔに比例する）ほか、水理定数（透水係数Ｋと貯留係数Ｓ）の精度が直接影響する。
④経験式（ジーハルト式やクサキン式）から求める影響半径Ｒは、揚水時間ｔに依存せず水位低下ｓｗと透水係数Ｋから算定できるが、精度面で劣る。
⑤揚水試験時の観測井水位を用いて求める影響半径Ｒは、揚水井と観測井の距離ｒや水理地質的な境界条件にもよるが、実用的な精度は高い。
●経験式（ジーハルト式）で計算するとＲが小さい？
「根切りの排水量問題」に関連して、ゼネコンの方から「井戸の揚水量や水位低下量や透水量係数を簡便に計算できるソフトウェア（エクセルマクロ）を組めないか」と問い合わせがありました。いろいろやりとりしているうちに「ワークシートと簡単なマクロの組み合わせでこの程度できますよ！」といった感じで作成したのが「井戸の水理計算ワークシート」で、業務に関するソフトウェアとしてサイト上に公開しています（技術情報のトップページにある「こそこそダウンロードサイト」へアクセス）。この「井戸の水理計算ワークシート」には、非平衡式の１ファイル（「タイス式の被圧井戸計算.xls」）と平衡式の２ファイル（「テイエム式とジーハルト式の被圧井戸計算.xls」と「・・・・不圧井戸計算.xls」）が含まれています。
このうち、平衡式版の２ファイルでは、影響半径Ｒを経験式（ジーハルト式）で計算しています。２つのファイルでは、水位低下量ｓｗ・透水係数Ｋ・揚水量Ｑのそれぞれを未知数とした３つのワークシートを作成していますが、ｓｗまたはＫを未知数とするシートの場合は、Ｒが１意に計算できません（Ｑが未知数の場合は１意）。そこで、最初に、ごくごく適当な（小さい）Ｒをスタート値に設定して水位低下量ｓｗや透水係数Ｋを求め、これらから再計算されるＲとの調和平均を計算して、スタート値に設定したＲ値と置き換える・・・といった感じの繰り返し計算をマクロ処理して収束計算させています。
このようにして求めたジーハルト式の影響半径Ｒ。実際にワークシート上で現実的な問題を解いてみると、当初のワークシート上では「不圧地下水で100～300ｍ、被圧水で500～700ｍ」とされる実用的なＲよりも小さい（狭い）値が数多く計算されました。そこで非平衡式を用いて検算・比較検討した結果、透水係数Ｋの単位には文献どおりの「ｍ/sec」ではなく「cm/sec」を用いたほうが、より現実的であろう・・・との判断に至りました（現在ダウンロードサイトに掲載しているファイルは透水係数Ｋを「cm/sec」としてＲを計算）。問題解決の手段としては安易な方法ですが、影響半径を大きめに評価する≒安全側になる、ようにリスク低減を考えました。
ちなみに、非平衡式版のワークシートでは、井戸の揚水時における任意の距離と時間に対する水位低下量を一覧表形式で計算できるようマクロを組んでおり、理想的な条件を仮定した揚水試験の水位低下量分布を再現できます。ただし貯留係数（または比貯留率）の与え方によっては、時系列的な変化は大きく変わります。また、揚水井水位だけの揚水試験では貯留係数の解析が非常に難しいことは、皆様ご存知の通りです。
●実は問題によって影響半径の考え方が異なるのではないか？
チーム（テイエム）の平衡式は、変形することで様々な未知数（ＫやｓｗやＱ）を求められる便利な公式であることは間違いないです。また、影響半径Ｒが実用的かつ常識的な範囲であれば、むしろ計算精度は水理定数・透水係数Ｋに依存する場合が多いと思います（透水係数も解析法によっては精度に問題が生じます）。こうしたことから、実務・業務レベルで用いる影響半径Ｒは、実用的とされる範囲の数値もしくは経験式で導かれる数値で差し支えないと考えられます。ただし、ここまで述べた様々な背景には留意をする必要があります。
なお、以下は筆者の個人的な意見ですが、「影響半径の考え方は解決すべき地下水問題の性質によって切り替える」というのもアリではないかと思っています。たとえば、井戸による揚水問題は、地下水シミュレーションではノイマン型境界条件（フラックス一定）に相当しており、時間依存（貯留変化の考慮）を捨てさることができないので（非定常解が必要）、タイスの非定常式から任意時間に対する影響半径Ｒ（ｓｗ＝0.001ｍ）を求めて評価する必要があるでしょう。一方、根切り（掘削工事）に伴う排水問題では、掘削面が地下水シミュレーションでのディレクレ型境界条件（水位一定）に該当し、時間依存を考慮しなくても最終的な排水量が出せる（定常解で十分）と判断できます。
ダウンロードサイトに公開しているワークシート・ソフトウェアについては、こうした点を踏まえたうえで活用いただけると幸いです。